Sztochasztikus rezonanciák

A világban lezajló bármely folyamatra bizonyos mértékig hatással vannak véletlen események. Ezeknek az amúgy kontrollálhatatlan befolyásoló tényezőknek ez eredőjét szokás röviden zajnak nevezni. Természetesen számos olyan eset létezik, amikor a zaj hatása összességében annyira elenyésző, hogy a folyamat gyakorlatilag determinisztikusnak tűnik, s így „matematikailag szép” egyenletekkel írható le. Más esetekben a zaj jelenléte annyira nyilvánvaló, hogy a kérdéses jelenséget eleve csak a valószínűségek szintjén lehet kezelni.

E két csoport határán létezik egy harmadik terület is, amikor a zaj rejtve marad és jelentéktelennek tűnik ugyan, hatása azonban időnként a makroszkopikus szinten is előbukkan váratlanul. Az ok-okozati összefüggések látszólagos hiánya miatt az ilyen rendszerek tehát furcsa viselkedést fognak mutatni, vagy egyszerűbben fogalmazva velük kapcsolatban fel kell készülnünk a „csodákra”.

Hogyan tegyünk csodát – egy egyszerű mechanikai példa

Képzeljünk el egy pontszerű részecskét, ami egy egydimenziós szimmetrikus potenciálvölgyben van. Tegyük fel továbbá, hogy a részecske kinetikus energiája jóval kisebb, mint ami a gödörből való kijutáshoz szükséges, vagyis nincs esélye a kiszabadulásra. Ha a rendszerben nincs súrlódás, a részecske az egyensúlyi helyzete körül fog oszcillálni, de ki biztosan nem juthat.

Most egészítsük ki ezt a modellt egy véletlenszerűen működő, a rendszer méreteihez képest mikroszkopikus amplitúdóval rendelkező zavarforrással: tegyük fel például, hogy véletlenszerűen választott helyeken és időpontokban a részecskét egy kicsit meglökjük. A hatás véletlenszerűségéhez az is hozzátartozik, hogy a lökés iránya az adott pillanatban megegyezhet a részecske sebességének irányával, de az is lehet, hogy ellentétes azzal. Ennek hatására a részecske tehát vagy egy kicsit gyorsulni, vagy egy kicsit lassulni fog. Mivel ennek a mechanikai zavarásnak a mértéke mikroszkopikus, időátlagban pedig a teljes energiabevitel nulla, az ember elsőre azt gondolná, hogy a zajmentes rendszerre felállított determinisztikus modell továbbra is érvényben marad.

Ez a feltevés az esetek többségében természetesen helyes is lesz: a részecske mozgásában ugyan felfedezhetünk majd kisebb „döccenéseket”, de továbbra is a gödör foglya marad. És akkor jön a csoda...

Igaz ugyan, hogy a zaj véletlenszerűsége miatta a nettó külső hatás időátlagban nulla, abban azonban semmi nem akadályozza meg a részecskét, hogy „szerencsés véletlenek” megfelelő sorozatának köszönhetően összegyűjtsön annyi kinetikus energiát, amivel már elhagyhatja a potenciálvölgyet. Ennek az eseménynek a valószínűsége nyilván nem nagy, de nem is nulla, és éppen ez itt a lényeg.

Az efféle csodaszámba menő jelenségeket, amelyek oka véletlenszerűen keletkező és amúgy önmagukban elhanyagolhatóan kis mértékű zavaró hatások felhalmozódására vezethető vissza, sztochasztikus rezonanciáknak nevezzük.

Sztochasztikus effektusok radiális Liesegang-mintázatokban

Tovaterjedő hibahelyek

A Liesegang-mintázatokban gyakran figyelhetünk meg a fejlődésük során térben tovaterjedő hibahelyeket, ami józan fizikai megfontolások alapján meglehetősen paradox. Ezeknek a rendszereknek a fejlődése diffúzió-kontrollált, a diffúzió pedig normálisan ki szokott vasalni mindenféle egyenetlenséget az efféle rendszerekben.

A szimulációk tanúsága szerint a hibahelyek tovaterjedésének magyarázata a sztochasztikus rezonancia jelensége: egyes paramétertartományokban a mintázatot építő reakció-diffúzió mechanizmus nem csillapítja, hanem felerősíti a mikroszkopikus zajokat.

Visszatérve a „részecske a potenciálvölgyben” modellhez a szimulációs tapasztalatok szerint a Liesegang rendszereknek két potenciálvölgyük van, amelyek egy-egy, egymástól kissé eltérő mintázatnak felelnek meg. Normális esetben a mintázat fejlődése véletlenszerűen, de végig vagy az egyik, vagy a másik völgynek megfelelő „mederben” zajlik. Ha ebbe a helyzetbe beleavatkozik a véletlen zaj, akkor a rendszer állapota átugorhat egyik völgyből a másikba és a szituációtól függően (ennek a részletei kissé bonyolultak) esetleg ott is ragadhat. Ilyenkor a mintázaton egy törés keletkezik, hiszen egyik módusról a másikra váltott, ha pedig a váltás visszafelé már nem történhet meg, akkor hiába a diffúzió simító hatása, a hibahely végigkíséri a mintázat teljes fejlődését.

Ez az effektus két és három dimenzióban egyaránt létezik (mind a valós kísérletekben, mind a szimulációkban) ám az irodalomban néhol hangoztatott állításokkal ellentétben független a geometriától, a kezdeti feltételek vagy a rendszer egészének aszimmetriájától.

Spirálok keletkezése

A spirális mintázatok megjelenése a Liesegang-mintázatokat érintő anomáliák közül az egyik legérdekesebb. Akárcsak a fordított mintázatokat, szándékosan előidézni ezt sem lehet. Spirálok csak „próba-szerencse” alapon állíthatók elő, ami eleve a jelenség valamiféle sztochasztikus hátterére utal.

Ezt a nem különösebben bonyolult állítást az IDNB modellel készült szimulációk természetesen szintén alátámasztották. A szimulációs paraméterektől függően a spirálok keletkezésének valószínűsége kisebb vagy nagyobb lehet, de – amint azt az alábbi ábra is mutatja – még szimuláció esetén sem előre megmondani, hogy a végeredmény spirál lesz, vagy egy közönséges mintázat. (Az alábbi spirál/nemspirál „ikerpár” fejlődéséről videó is készült. Lásd a megfelelő szakaszban.)

Sztochasztikus effektusok három dimenzióban

A „pattogó labda” effektus

Lineáris mintázatok esetén néha előfordul, hogy egy tovaterjedő hibahely olyan széles, hogy gyakorlatilag hosszában két félre osztja a mintázatot. A két almintázat ugyanakkor nem független egymástól, mivel zónáik váltakozva fejlődnek ki. A mintázat felépülése ettől olyan, mintha egy maga után nyomot hagyó labda pattogna egy szűk csatorna falai között.

Gömbölyű csapadékzónák